Análisis del principio de Binius STARKs y reflexiones sobre su optimización
1 Introducción
Una de las principales razones de la baja eficiencia de STARKs es que la mayoría de los valores en los programas reales son bastante pequeños, como los índices en los bucles for, valores booleanos, contadores, etc. Sin embargo, para garantizar la seguridad de las pruebas basadas en árboles de Merkle, al usar la codificación de Reed-Solomon para expandir los datos, muchos valores redundantes adicionales ocuparán todo el campo, incluso si el valor original en sí es muy pequeño. Para resolver este problema, reducir el tamaño del campo se ha convertido en una estrategia clave.
La anchura de codificación de la primera generación de STARKs es de 252 bits, la de la segunda generación de STARKs es de 64 bits, y la de la tercera generación de STARKs es de 32 bits; sin embargo, la codificación de 32 bits todavía presenta un gran desperdicio de espacio. En comparación, el dominio binario permite operar directamente sobre los bits, con una codificación compacta y eficiente sin ningún desperdicio de espacio, es decir, la cuarta generación de STARKs.
En comparación con Goldilocks, BabyBear, Mersenne31 y otros descubrimientos recientes en campos finitos en los últimos años, la investigación sobre campos binarios se remonta a la década de 1980. Actualmente, los campos binarios se utilizan ampliamente en criptografía, ejemplos típicos incluyen:
Estándar de Encriptación Avanzada (AES), basado en el campo F28;
Código de autenticación de mensajes Galois ( GMAC ), basado en el campo F2128;
Código QR, utilizando codificación Reed-Solomon basada en F28;
Protocolo FRI original y zk-STARK, así como la función hash Grøstl que llegó a la final de SHA-3, que se basa en el dominio F28, es un algoritmo hash muy adecuado para la recursión.
Cuando se utilizan dominios más pequeños, la operación de extensión de dominio se vuelve cada vez más importante para garantizar la seguridad. El dominio binario utilizado por Binius depende completamente de la extensión de dominio para garantizar su seguridad y viabilidad práctica. La mayoría de los polinomios involucrados en los cálculos de Prover no necesitan entrar en la extensión de dominio, sino que solo necesitan operar en el dominio base, logrando así una alta eficiencia en dominios pequeños. Sin embargo, la verificación de puntos aleatorios y el cálculo de FRI aún necesitan profundizar en un dominio de extensión más grande para asegurar la seguridad requerida.
Al construir un sistema de prueba basado en el dominio binario, existen 2 problemas prácticos: al calcular la representación de la traza en STARKs, el tamaño del dominio utilizado debe ser mayor que el grado del polinomio; al comprometer el árbol de Merkle en STARKs, se debe realizar la codificación de Reed-Solomon, y el tamaño del dominio utilizado debe ser mayor que el tamaño después de la expansión de la codificación.
Binius propuso una solución innovadora que aborda estos dos problemas por separado y representa los mismos datos de dos maneras diferentes: primero, utilizando un polinomio multivariable ( específicamente un polinomio multilinario ) en lugar de un polinomio univariable, representando toda la trayectoria de cálculo a través de sus valores en "hipercubos" (; en segundo lugar, dado que la longitud de cada dimensión del hipercubo es 2, no es posible realizar una extensión estándar de Reed-Solomon como en STARKs, pero se puede considerar el hipercubo como un cuadrado ), basado en el cual se realiza la extensión de Reed-Solomon. Este método, al garantizar la seguridad, mejora enormemente la eficiencia de codificación y el rendimiento computacional.
2 Análisis de principios
La construcción de la mayoría de los sistemas SNARKs actualmente generalmente incluye las siguientes dos partes:
Prueba de Oráculo Interactivo Polinómico Teórica de la Información (Information-Theoretic Polynomial Interactive Oracle Proof, PIOP): PIOP, como el núcleo del sistema de pruebas, transforma las relaciones computacionales de entrada en ecuaciones polinómicas verificables. Diferentes protocolos de PIOP permiten al probador enviar polinomios de forma gradual a través de la interacción con el validador, de modo que el validador puede verificar si el cálculo es correcto consultando solo unos pocos resultados de evaluación de polinomios. Los protocolos PIOP existentes incluyen: PLONK PIOP, Spartan PIOP y HyperPlonk PIOP, cada uno de los cuales tiene un enfoque diferente para manejar expresiones polinómicas, lo que afecta el rendimiento y la eficiencia de todo el sistema SNARK.
Esquema de Compromiso Polinómico (Polynomial Commitment Scheme, PCS): El esquema de compromiso polinómico se utiliza para demostrar si se cumple la igualdad polinómica generada por PIOP. PCS es una herramienta criptográfica, a través de la cual, el probador puede comprometerse a un polinomio y más tarde verificar el resultado de la evaluación de dicho polinomio, mientras oculta otra información del polinomio. Los esquemas de compromiso polinómico más comunes son KZG, Bulletproofs, FRI(Fast Reed-Solomon IOPP) y Brakedown, entre otros. Diferentes PCS tienen diferentes rendimientos, seguridad y escenarios de aplicación.
Según las necesidades específicas, elija diferentes PIOP y PCS, y combine con un campo finito o curva elíptica adecuados, se puede construir un sistema de pruebas con diferentes atributos. Por ejemplo:
• Halo2: combina PLONK PIOP con Bulletproofs PCS y se basa en la curva Pasta. Halo2 se diseñó con un enfoque en la escalabilidad y en eliminar el setup de confianza en el protocolo ZCash.
• Plonky2: emplea PLONK PIOP combinado con FRI PCS, y se basa en el dominio de Goldilocks. Plonky2 está diseñado para lograr recursividad eficiente. Al diseñar estos sistemas, las PIOP y PCS elegidas deben coincidir con el campo finito o la curva elíptica utilizada, para asegurar la corrección, el rendimiento y la seguridad del sistema. La elección de estas combinaciones no solo afecta el tamaño de la prueba SNARK y la eficiencia de verificación, sino que también determina si el sistema puede lograr transparencia sin un entorno de confianza, y si puede soportar funciones extendidas como pruebas recursivas o pruebas agregadas.
Binius: HyperPlonk PIOP + Brakedown PCS + campos binarios. En concreto, Binius incluye cinco tecnologías clave para lograr su eficiencia y seguridad. Primero, la aritmética basada en torres de campos binarios (towers of binary fields) constituye la base de sus cálculos, permitiendo realizar operaciones simplificadas dentro del campo binario. En segundo lugar, Binius adapta la verificación de productos y permutaciones de HyperPlonk en su protocolo de prueba Oracle interactivo (PIOP), garantizando una verificación de consistencia segura y eficiente entre variables y sus permutaciones. Tercero, el protocolo introduce una nueva prueba de desplazamiento multilineal, optimizando la eficiencia de la verificación de relaciones multilineales en pequeños campos. Cuarto, Binius utiliza una versión mejorada de la prueba de búsqueda de Lasso, proporcionando flexibilidad y una fuerte seguridad para el mecanismo de búsqueda. Finalmente, el protocolo utiliza un esquema de compromiso polinómico de pequeños campos (Small-Field PCS), lo que le permite implementar un sistema de prueba eficiente en el campo binario y reduce los costos generalmente asociados con campos grandes.
( 2.1 Campo finito: aritmética basada en torres de campos binarios
El campo binario en torre es clave para lograr cálculos rápidos y verificables, principalmente debido a dos aspectos: cálculos eficientes y aritmética eficiente. El campo binario, en esencia, soporta operaciones aritméticas altamente eficientes, lo que lo convierte en una elección ideal para aplicaciones criptográficas sensibles a los requisitos de rendimiento. Además, la estructura del campo binario apoya un proceso de aritmética simplificado, es decir, las operaciones realizadas en el campo binario pueden representarse en una forma algebraica compacta y fácil de verificar. Estas características, junto con la capacidad de aprovechar plenamente sus características jerárquicas a través de la estructura de torre, hacen que el campo binario sea particularmente adecuado para sistemas de prueba escalables como Binius.
El término "canónico" se refiere a la representación única y directa de elementos en un campo binario. Por ejemplo, en el campo binario más básico F2, cualquier cadena de k bits puede mapearse directamente a un elemento del campo binario de k bits. Esto es diferente de los campos primos, que no pueden proporcionar esta representación canónica dentro de un número fijo de bits. Aunque el campo primo de 32 bits puede caber en 32 bits, no cada cadena de 32 bits puede corresponder de manera única a un elemento del campo, mientras que el campo binario tiene esta conveniencia de mapeo uno a uno. En el campo primo Fp, los métodos de reducción comunes incluyen la reducción de Barrett, la reducción de Montgomery, y métodos de reducción especiales para campos finitos específicos como Mersenne-31 o Goldilocks-64. En el campo binario F2k, los métodos de reducción comunes incluyen la reducción especial ) como se usa en AES ###, la reducción de Montgomery ( como se utiliza en POLYVAL ) y la reducción recursiva ( como Tower ). El artículo "Exploring the Design Space of Prime Field vs. Binary Field ECC-Hardware Implementations" señala que en el campo binario no se necesita introducir acarreo en las operaciones de suma y multiplicación, y que la operación de cuadrado en el campo binario es muy eficiente porque sigue la regla simplificada (X + Y )2 = X2 + Y 2.
Como se muestra en la figura 1, una cadena de 128 bits: esta cadena puede interpretarse de varias maneras en el contexto del campo binario. Puede considerarse como un elemento único en un campo binario de 128 bits, o interpretarse como dos elementos de campo de torre de 64 bits, cuatro elementos de campo de torre de 32 bits, dieciséis elementos de campo de torre de 8 bits, o 128 elementos del campo F2. Esta flexibilidad en la representación no requiere ningún costo computacional, solo una conversión de tipo de cadena de bits (typecast), lo cual es una propiedad muy interesante y útil. Al mismo tiempo, los elementos de campo pequeños pueden empaquetarse en elementos de campo más grandes sin necesidad de costos computacionales adicionales. El protocolo Binius aprovecha esta característica para mejorar la eficiencia computacional. Además, el artículo "On Efficient Inversion in Tower Fields of Characteristic Two" explora la complejidad computacional de realizar multiplicaciones, cuadrados y operaciones de inversión en un campo de torre binario de n bits descompuesto en un subcampo de m bits (.
![Bitlayer Research: Análisis del principio de Binius STARKs y reflexiones sobre su optimización])https://img-cdn.gateio.im/webp-social/moments-5775a629f494c4e01e2b74d864fa4100.webp(
) 2.2 PIOP: versión adaptada del producto HyperPlonk y Verificación de Permutación------aplicable al campo binario
El diseño de PIOP en el protocolo Binius se inspira en HyperPlonk, utilizando una serie de mecanismos de verificación clave para validar la corrección de polinomios y conjuntos multivariables. Estas verificaciones clave incluyen:
GateCheck: Verifica si el testigo secreto ω y la entrada pública x satisfacen la relación de cálculo del circuito C(x,ω)=0, para asegurar que el circuito funcione correctamente.
PermutationCheck: Verificar si los resultados de evaluación de dos polinomios multivariables f y g en el hipercubo booleano son una relación de permutación f###x( = f)π(x)(, para asegurar la consistencia de la permutación entre las variables del polinomio.
LookupCheck: Verificar si la evaluación del polinomio está en la tabla de búsqueda dada, es decir, f(Bµ) ⊆ T)Bµ(, asegurando que ciertos valores estén dentro del rango especificado.
MultisetCheck: Verifica si dos conjuntos multivariables son iguales, es decir, {)x1,i,x2,(}i∈H={)y1,i,y2,(}i∈H, garantizando la coherencia entre múltiples conjuntos.
ProductCheck: Verificar si la evaluación de un polinomio racional en el hipercubo booleano es igual a un valor declarado ∏x∈Hµ f)x( = s, para asegurar la corrección del producto polinómico.
ZeroCheck: verificar si un polinomio multivariable en el hipercubo booleano es cero en cualquier punto ∏x∈Hµ f)x( = 0, ∀x ∈ Bµ, para asegurar la distribución de los ceros del polinomio.
SumCheck: Verifica si la suma de un polinomio multivariable es igual al valor declarado ∑x∈Hµ f)x( = s. Al transformar el problema de evaluación de polinomios multivariables en la evaluación de un polinomio univariante, se reduce la complejidad computacional para el verificador. Además, SumCheck también permite el procesamiento por lotes, introduciendo números aleatorios para construir combinaciones lineales y realizar el procesamiento por lotes de múltiples instancias de verificación de suma.
BatchCheck: basado en SumCheck, verifica la corrección de la evaluación de múltiples polinomios multivariables para mejorar la eficiencia del protocolo.
A pesar de que Binius y HyperPlonk tienen muchas similitudes en el diseño del protocolo, Binius ha realizado mejoras en los siguientes 3 aspectos:
Optimización de ProductCheck: en HyperPlonk, ProductCheck requiere que el denominador U sea diferente de cero en todo el hipercubo, y que el producto sea igual a un valor específico; Binius simplifica este proceso de verificación al especializar dicho valor en 1, reduciendo así la complejidad computacional.
Manejo del problema de división por cero: HyperPlonk no pudo manejar adecuadamente la situación de división por cero, lo que llevó a no poder afirmar que U es no cero en el hipercubo; Binius manejó correctamente este problema, incluso en el caso de que el denominador sea cero, el ProductCheck de Binius puede continuar procesando, permitiendo la generalización a cualquier valor de producto.
Comprobación de permutación cruzada: HyperPlonk no tiene esta función; Binius admite la comprobación de permutación entre varias columnas, lo que permite a Binius manejar situaciones más complejas de disposición de polinomios.
Por lo tanto, Binius ha mejorado el mecanismo PIOPSumCheck existente, aumentando la flexibilidad y eficiencia del protocolo, especialmente al manejar la verificación de polinomios multivariables más complejos, proporcionando un soporte funcional más robusto. Estas mejoras no solo abordan las limitaciones de HyperPlonk, sino que también sientan las bases para futuros sistemas de prueba basados en dominios binarios.
) 2.3 PIOP: nuevo argumento de desplazamiento multilineal ------ aplicable al hipercubo booleano
En el protocolo Binius, la construcción y el manejo de polinomios virtuales son una de las tecnologías clave, capaces de generar y operar eficazmente polinomios derivados de manejadores de entrada u otros polinomios virtuales. A continuación se presentan dos métodos clave:
Packing: Este método optimiza las operaciones empaquetando elementos más pequeños en posiciones adyacentes en el orden del diccionario en elementos más grandes. El operador Pack se aplica a bloques de tamaño 2κ y los combina en dominios de alta dimensión.
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ExpectationFarmer
· hace3h
La eficiencia es extraña y desperdicia espacio.
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gaslight_gasfeez
· hace3h
Los perros evolucionan más rápido que 32 bits.
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DAOdreamer
· hace3h
Creo que optimizar la eficiencia es más urgente que la seguridad.
Protocolo Binius: optimización revolucionaria de STARKs en dominios binarios
Análisis del principio de Binius STARKs y reflexiones sobre su optimización
1 Introducción
Una de las principales razones de la baja eficiencia de STARKs es que la mayoría de los valores en los programas reales son bastante pequeños, como los índices en los bucles for, valores booleanos, contadores, etc. Sin embargo, para garantizar la seguridad de las pruebas basadas en árboles de Merkle, al usar la codificación de Reed-Solomon para expandir los datos, muchos valores redundantes adicionales ocuparán todo el campo, incluso si el valor original en sí es muy pequeño. Para resolver este problema, reducir el tamaño del campo se ha convertido en una estrategia clave.
La anchura de codificación de la primera generación de STARKs es de 252 bits, la de la segunda generación de STARKs es de 64 bits, y la de la tercera generación de STARKs es de 32 bits; sin embargo, la codificación de 32 bits todavía presenta un gran desperdicio de espacio. En comparación, el dominio binario permite operar directamente sobre los bits, con una codificación compacta y eficiente sin ningún desperdicio de espacio, es decir, la cuarta generación de STARKs.
En comparación con Goldilocks, BabyBear, Mersenne31 y otros descubrimientos recientes en campos finitos en los últimos años, la investigación sobre campos binarios se remonta a la década de 1980. Actualmente, los campos binarios se utilizan ampliamente en criptografía, ejemplos típicos incluyen:
Estándar de Encriptación Avanzada (AES), basado en el campo F28;
Código de autenticación de mensajes Galois ( GMAC ), basado en el campo F2128;
Código QR, utilizando codificación Reed-Solomon basada en F28;
Protocolo FRI original y zk-STARK, así como la función hash Grøstl que llegó a la final de SHA-3, que se basa en el dominio F28, es un algoritmo hash muy adecuado para la recursión.
Cuando se utilizan dominios más pequeños, la operación de extensión de dominio se vuelve cada vez más importante para garantizar la seguridad. El dominio binario utilizado por Binius depende completamente de la extensión de dominio para garantizar su seguridad y viabilidad práctica. La mayoría de los polinomios involucrados en los cálculos de Prover no necesitan entrar en la extensión de dominio, sino que solo necesitan operar en el dominio base, logrando así una alta eficiencia en dominios pequeños. Sin embargo, la verificación de puntos aleatorios y el cálculo de FRI aún necesitan profundizar en un dominio de extensión más grande para asegurar la seguridad requerida.
Al construir un sistema de prueba basado en el dominio binario, existen 2 problemas prácticos: al calcular la representación de la traza en STARKs, el tamaño del dominio utilizado debe ser mayor que el grado del polinomio; al comprometer el árbol de Merkle en STARKs, se debe realizar la codificación de Reed-Solomon, y el tamaño del dominio utilizado debe ser mayor que el tamaño después de la expansión de la codificación.
Binius propuso una solución innovadora que aborda estos dos problemas por separado y representa los mismos datos de dos maneras diferentes: primero, utilizando un polinomio multivariable ( específicamente un polinomio multilinario ) en lugar de un polinomio univariable, representando toda la trayectoria de cálculo a través de sus valores en "hipercubos" (; en segundo lugar, dado que la longitud de cada dimensión del hipercubo es 2, no es posible realizar una extensión estándar de Reed-Solomon como en STARKs, pero se puede considerar el hipercubo como un cuadrado ), basado en el cual se realiza la extensión de Reed-Solomon. Este método, al garantizar la seguridad, mejora enormemente la eficiencia de codificación y el rendimiento computacional.
2 Análisis de principios
La construcción de la mayoría de los sistemas SNARKs actualmente generalmente incluye las siguientes dos partes:
Prueba de Oráculo Interactivo Polinómico Teórica de la Información (Information-Theoretic Polynomial Interactive Oracle Proof, PIOP): PIOP, como el núcleo del sistema de pruebas, transforma las relaciones computacionales de entrada en ecuaciones polinómicas verificables. Diferentes protocolos de PIOP permiten al probador enviar polinomios de forma gradual a través de la interacción con el validador, de modo que el validador puede verificar si el cálculo es correcto consultando solo unos pocos resultados de evaluación de polinomios. Los protocolos PIOP existentes incluyen: PLONK PIOP, Spartan PIOP y HyperPlonk PIOP, cada uno de los cuales tiene un enfoque diferente para manejar expresiones polinómicas, lo que afecta el rendimiento y la eficiencia de todo el sistema SNARK.
Esquema de Compromiso Polinómico (Polynomial Commitment Scheme, PCS): El esquema de compromiso polinómico se utiliza para demostrar si se cumple la igualdad polinómica generada por PIOP. PCS es una herramienta criptográfica, a través de la cual, el probador puede comprometerse a un polinomio y más tarde verificar el resultado de la evaluación de dicho polinomio, mientras oculta otra información del polinomio. Los esquemas de compromiso polinómico más comunes son KZG, Bulletproofs, FRI(Fast Reed-Solomon IOPP) y Brakedown, entre otros. Diferentes PCS tienen diferentes rendimientos, seguridad y escenarios de aplicación.
Según las necesidades específicas, elija diferentes PIOP y PCS, y combine con un campo finito o curva elíptica adecuados, se puede construir un sistema de pruebas con diferentes atributos. Por ejemplo:
• Halo2: combina PLONK PIOP con Bulletproofs PCS y se basa en la curva Pasta. Halo2 se diseñó con un enfoque en la escalabilidad y en eliminar el setup de confianza en el protocolo ZCash.
• Plonky2: emplea PLONK PIOP combinado con FRI PCS, y se basa en el dominio de Goldilocks. Plonky2 está diseñado para lograr recursividad eficiente. Al diseñar estos sistemas, las PIOP y PCS elegidas deben coincidir con el campo finito o la curva elíptica utilizada, para asegurar la corrección, el rendimiento y la seguridad del sistema. La elección de estas combinaciones no solo afecta el tamaño de la prueba SNARK y la eficiencia de verificación, sino que también determina si el sistema puede lograr transparencia sin un entorno de confianza, y si puede soportar funciones extendidas como pruebas recursivas o pruebas agregadas.
Binius: HyperPlonk PIOP + Brakedown PCS + campos binarios. En concreto, Binius incluye cinco tecnologías clave para lograr su eficiencia y seguridad. Primero, la aritmética basada en torres de campos binarios (towers of binary fields) constituye la base de sus cálculos, permitiendo realizar operaciones simplificadas dentro del campo binario. En segundo lugar, Binius adapta la verificación de productos y permutaciones de HyperPlonk en su protocolo de prueba Oracle interactivo (PIOP), garantizando una verificación de consistencia segura y eficiente entre variables y sus permutaciones. Tercero, el protocolo introduce una nueva prueba de desplazamiento multilineal, optimizando la eficiencia de la verificación de relaciones multilineales en pequeños campos. Cuarto, Binius utiliza una versión mejorada de la prueba de búsqueda de Lasso, proporcionando flexibilidad y una fuerte seguridad para el mecanismo de búsqueda. Finalmente, el protocolo utiliza un esquema de compromiso polinómico de pequeños campos (Small-Field PCS), lo que le permite implementar un sistema de prueba eficiente en el campo binario y reduce los costos generalmente asociados con campos grandes.
( 2.1 Campo finito: aritmética basada en torres de campos binarios
El campo binario en torre es clave para lograr cálculos rápidos y verificables, principalmente debido a dos aspectos: cálculos eficientes y aritmética eficiente. El campo binario, en esencia, soporta operaciones aritméticas altamente eficientes, lo que lo convierte en una elección ideal para aplicaciones criptográficas sensibles a los requisitos de rendimiento. Además, la estructura del campo binario apoya un proceso de aritmética simplificado, es decir, las operaciones realizadas en el campo binario pueden representarse en una forma algebraica compacta y fácil de verificar. Estas características, junto con la capacidad de aprovechar plenamente sus características jerárquicas a través de la estructura de torre, hacen que el campo binario sea particularmente adecuado para sistemas de prueba escalables como Binius.
El término "canónico" se refiere a la representación única y directa de elementos en un campo binario. Por ejemplo, en el campo binario más básico F2, cualquier cadena de k bits puede mapearse directamente a un elemento del campo binario de k bits. Esto es diferente de los campos primos, que no pueden proporcionar esta representación canónica dentro de un número fijo de bits. Aunque el campo primo de 32 bits puede caber en 32 bits, no cada cadena de 32 bits puede corresponder de manera única a un elemento del campo, mientras que el campo binario tiene esta conveniencia de mapeo uno a uno. En el campo primo Fp, los métodos de reducción comunes incluyen la reducción de Barrett, la reducción de Montgomery, y métodos de reducción especiales para campos finitos específicos como Mersenne-31 o Goldilocks-64. En el campo binario F2k, los métodos de reducción comunes incluyen la reducción especial ) como se usa en AES ###, la reducción de Montgomery ( como se utiliza en POLYVAL ) y la reducción recursiva ( como Tower ). El artículo "Exploring the Design Space of Prime Field vs. Binary Field ECC-Hardware Implementations" señala que en el campo binario no se necesita introducir acarreo en las operaciones de suma y multiplicación, y que la operación de cuadrado en el campo binario es muy eficiente porque sigue la regla simplificada (X + Y )2 = X2 + Y 2.
Como se muestra en la figura 1, una cadena de 128 bits: esta cadena puede interpretarse de varias maneras en el contexto del campo binario. Puede considerarse como un elemento único en un campo binario de 128 bits, o interpretarse como dos elementos de campo de torre de 64 bits, cuatro elementos de campo de torre de 32 bits, dieciséis elementos de campo de torre de 8 bits, o 128 elementos del campo F2. Esta flexibilidad en la representación no requiere ningún costo computacional, solo una conversión de tipo de cadena de bits (typecast), lo cual es una propiedad muy interesante y útil. Al mismo tiempo, los elementos de campo pequeños pueden empaquetarse en elementos de campo más grandes sin necesidad de costos computacionales adicionales. El protocolo Binius aprovecha esta característica para mejorar la eficiencia computacional. Además, el artículo "On Efficient Inversion in Tower Fields of Characteristic Two" explora la complejidad computacional de realizar multiplicaciones, cuadrados y operaciones de inversión en un campo de torre binario de n bits descompuesto en un subcampo de m bits (.
![Bitlayer Research: Análisis del principio de Binius STARKs y reflexiones sobre su optimización])https://img-cdn.gateio.im/webp-social/moments-5775a629f494c4e01e2b74d864fa4100.webp(
) 2.2 PIOP: versión adaptada del producto HyperPlonk y Verificación de Permutación------aplicable al campo binario
El diseño de PIOP en el protocolo Binius se inspira en HyperPlonk, utilizando una serie de mecanismos de verificación clave para validar la corrección de polinomios y conjuntos multivariables. Estas verificaciones clave incluyen:
GateCheck: Verifica si el testigo secreto ω y la entrada pública x satisfacen la relación de cálculo del circuito C(x,ω)=0, para asegurar que el circuito funcione correctamente.
PermutationCheck: Verificar si los resultados de evaluación de dos polinomios multivariables f y g en el hipercubo booleano son una relación de permutación f###x( = f)π(x)(, para asegurar la consistencia de la permutación entre las variables del polinomio.
LookupCheck: Verificar si la evaluación del polinomio está en la tabla de búsqueda dada, es decir, f(Bµ) ⊆ T)Bµ(, asegurando que ciertos valores estén dentro del rango especificado.
MultisetCheck: Verifica si dos conjuntos multivariables son iguales, es decir, {)x1,i,x2,(}i∈H={)y1,i,y2,(}i∈H, garantizando la coherencia entre múltiples conjuntos.
ProductCheck: Verificar si la evaluación de un polinomio racional en el hipercubo booleano es igual a un valor declarado ∏x∈Hµ f)x( = s, para asegurar la corrección del producto polinómico.
ZeroCheck: verificar si un polinomio multivariable en el hipercubo booleano es cero en cualquier punto ∏x∈Hµ f)x( = 0, ∀x ∈ Bµ, para asegurar la distribución de los ceros del polinomio.
SumCheck: Verifica si la suma de un polinomio multivariable es igual al valor declarado ∑x∈Hµ f)x( = s. Al transformar el problema de evaluación de polinomios multivariables en la evaluación de un polinomio univariante, se reduce la complejidad computacional para el verificador. Además, SumCheck también permite el procesamiento por lotes, introduciendo números aleatorios para construir combinaciones lineales y realizar el procesamiento por lotes de múltiples instancias de verificación de suma.
BatchCheck: basado en SumCheck, verifica la corrección de la evaluación de múltiples polinomios multivariables para mejorar la eficiencia del protocolo.
A pesar de que Binius y HyperPlonk tienen muchas similitudes en el diseño del protocolo, Binius ha realizado mejoras en los siguientes 3 aspectos:
Optimización de ProductCheck: en HyperPlonk, ProductCheck requiere que el denominador U sea diferente de cero en todo el hipercubo, y que el producto sea igual a un valor específico; Binius simplifica este proceso de verificación al especializar dicho valor en 1, reduciendo así la complejidad computacional.
Manejo del problema de división por cero: HyperPlonk no pudo manejar adecuadamente la situación de división por cero, lo que llevó a no poder afirmar que U es no cero en el hipercubo; Binius manejó correctamente este problema, incluso en el caso de que el denominador sea cero, el ProductCheck de Binius puede continuar procesando, permitiendo la generalización a cualquier valor de producto.
Comprobación de permutación cruzada: HyperPlonk no tiene esta función; Binius admite la comprobación de permutación entre varias columnas, lo que permite a Binius manejar situaciones más complejas de disposición de polinomios.
Por lo tanto, Binius ha mejorado el mecanismo PIOPSumCheck existente, aumentando la flexibilidad y eficiencia del protocolo, especialmente al manejar la verificación de polinomios multivariables más complejos, proporcionando un soporte funcional más robusto. Estas mejoras no solo abordan las limitaciones de HyperPlonk, sino que también sientan las bases para futuros sistemas de prueba basados en dominios binarios.
) 2.3 PIOP: nuevo argumento de desplazamiento multilineal ------ aplicable al hipercubo booleano
En el protocolo Binius, la construcción y el manejo de polinomios virtuales son una de las tecnologías clave, capaces de generar y operar eficazmente polinomios derivados de manejadores de entrada u otros polinomios virtuales. A continuación se presentan dos métodos clave: