Binius STARKsの原理とその最適化思考の解析

1 はじめに

STARKsの効率が低下する主な理由は、実際のプログラムにおける数値の大部分が小さいことであり、例えばforループのインデックス、真偽値、カウンターなどです。しかし、Merkleツリー証明の安全性を確保するために、Reed-Solomon符号を使用してデータを拡張する際、多くの追加の冗長値が全範囲を占めることになり、元の値自体が非常に小さい場合でもそうなります。この問題を解決するために、範囲のサイズを減少させることが重要な戦略となりました。

第1世代STARKsのエンコーディング幅は252bit、第2世代STARKsのエンコーディング幅は64bit、第3世代STARKsのエンコーディング幅は32bitですが、32bitのエンコーディング幅には依然として大量の無駄なスペースがあります。それに対して、二進数領域はビットに直接操作することを許可し、エンコーディングはコンパクトで効率的であり、無駄なスペースがありません。すなわち、第4世代STARKsです。

Goldilocks、BabyBear、Mersenne31などの近年の新しい研究発見に比べて、二進数体の研究は1980年代に遡ります。現在、二進数体は暗号学に広く応用されており、典型的な例には次のものがあります：

• F28ドメインに基づくAdvanced Encryption Standard (AES)。

• ガロワのメッセージ認証コード(GMAC)、F2128域に基づく;

• QRコード、F28ベースのリード・ソロモン符号を使用;

• 原始FRIとzk-STARKプロトコル、そしてSHA-3決勝に進出したGrøstlハッシュ関数は、F28体に基づいており、再帰に非常に適したハッシュアルゴリズムです。

小さい体を使用する場合、拡張体操作は安全性を確保するためにますます重要になります。Biniusが使用する二進数体は、その安全性と実用性を保証するために完全に拡張体に依存しています。ほとんどのProver計算に関与する多項式は、拡張体に入る必要はなく、基本体の下で操作するだけで、小さい体での高効率を実現しています。しかし、ランダムポイントチェックとFRI計算は、必要な安全性を確保するために、より大きな拡張体に深入りする必要があります。

バイナリーフィールドに基づいて証明システムを構築する際に、2つの実際的な問題があります：STARKsにおけるトレース表現の計算時に使用するフィールドのサイズは多項式の次数よりも大きくする必要があります；STARKsにおけるマークルツリーのコミットメント時には、リード・ソロモン符号化を行う必要があり、使用するフィールドのサイズは符号化後の拡張サイズよりも大きくする必要があります。

Biniusは、これら2つの問題をそれぞれ処理する革新的なソリューションを提案し、同じデータを異なる2つの方法で表現することで実現しました: まず、複数の変数(具体的には多次元)多項式を単一変数の多項式の代わりに使用し、その値を"超立方体"(hypercubes)上で取ることによって、全体の計算軌跡を表現します; 次に、超立方体の各次元の長さが2であるため、STARKsのように標準的なリード・ソロモン拡張を行うことはできませんが、超立方体を正方形(square)と見なして、その正方形に基づいてリード・ソロモン拡張を行うことができます。この方法は、安全性を確保しつつ、エンコード効率と計算性能を大幅に向上させます。

2 原理分析

現在、大多数のSNARKsシステムの構築は通常、次の2つの部分を含んでいます:

• 情報理論多項式インタラクティブオラクル証明(Information-Theoretic Polynomial Interactive Oracle Proof, PIOP):PIOPは証明システムのコアとして、入力された計算関係を検証可能な多項式等式に変換します。異なるPIOPプロトコルは、検証者とのインタラクションを通じて、証明者が段階的に多項式を送信することを許可し、検証者は少量の多項式の評価結果を照会することで計算が正しいかどうかを検証できます。既存のPIOPプロトコルには、PLONK PIOP、Spartan PIOP、HyperPlonk PIOPなどがあり、それぞれ多項式表現の処理方法が異なるため、全体のSNARKシステムの性能と効率に影響を与えます。

• 多項式コミットメントスキーム(Polynomial Commitment Scheme, PCS):多項式コミットメントスキームは、PIOP生成の多項式等式が成立するかどうかを証明するために使用されます。PCSは暗号学的ツールで、これを通じて、証明者は特定の多項式にコミットし、その後でその多項式の評価結果を検証できるようにし、同時に多項式の他の情報を隠すことができます。一般的な多項式コミットメントスキームにはKZG、Bulletproofs、FRI(Fast Reed-Solomon IOPP)およびBrakedownなどがあります。異なるPCSは異なる性能、安全性、適用シーンを持っています。

具体的な要件に基づいて、異なるPIOPとPCSを選択し、適切な有限体または楕円曲線を組み合わせることで、異なる属性を持つ証明システムを構築できます。例えば:

• Halo2: PLONK PIOP と Bulletproofs PCS を組み合わせ、Pasta 曲線に基づいています。Halo2 の設計では、スケーラビリティに重点を置き、ZCash プロトコルの trusted setup を排除しています。

• Plonky2: PLONK PIOPとFRI PCSを組み合わせ、Goldilocks領域に基づいています。Plonky2は効率的な再帰を実現するために設計されています。これらのシステムを設計する際に選択されたPIOPとPCSは、使用される有限体または楕円曲線と一致する必要があり、システムの正確性、性能、安全性を確保します。これらの組み合わせの選択は、SNARKの証明サイズと検証効率に影響を与えるだけでなく、システムが信頼できる設定なしで透明性を実現できるかどうか、再帰的証明や集約証明などの拡張機能をサポートできるかどうかも決定します。

Binius:HyperPlonk PIOP +ブレーキダウンPCS +バイナリドメイン。 具体的には、Biniusには、その効率性と安全性を実現するための5つの主要技術が含まれています。 まず、バイナリfields(のタワーバイナリドメイン)towersに基づく演算がその計算の基礎を形成し、バイナリドメインでの簡略化された操作を実現できます。 次に、Biniusは、インタラクティブなOracleプルーフプロトコル(PIOP)で、HyperPlonk製品と順列チェックを適応させて、変数とその順列との間の安全で効率的な一貫性チェックを確保します。 第 3 に、このプロトコルでは、小さなドメインでのマルチリニア関係の検証効率を最適化するために、新しいマルチリニア シフト引数が導入されています。 第 4 に、Binius は Lasso ルックアップ引数の改良版を採用しており、ルックアップ メカニズムに柔軟性と強力なセキュリティを提供します。 最後に、このプロトコルは、スモールフィールド多項式コミットメントスキーム(スモールフィールドPCS)を使用しているため、バイナリドメインに効率的な証明システムを実装し、通常、大規模ドメインに関連するオーバーヘッドを削減することができます。

2.1 有限体:二値体の塔に基づく算術

タワービナリーフィールドは、高速で検証可能な計算を実現するための鍵であり、主に二つの側面に起因しています: 効率的な計算と効率的な算術化です。ビナリーフィールドは本質的に非常に効率的な算術操作をサポートしており、性能要件に敏感な暗号アプリケーションに理想的な選択肢となります。さらに、ビナリーフィールド構造は簡略化された算術化プロセスをサポートしており、ビナリーフィールド上で実行される演算は、コンパクトで検証しやすい代数形式で表現できます。これらの特性に加えて、タワー構造を通じてその階層的な特性を最大限に活用できることにより、ビナリーフィールドはBiniusのようなスケーラブルな証明システムに特に適しています。

"canonical"は、バイナリーフィールドにおける要素の唯一かつ直接的な表現方法を指します。例えば、最も基本的なバイナリーフィールドF2では、任意のkビットの文字列は直接kビットのバイナリーフィールド要素にマッピングできます。これは素数フィールドとは異なり、素数フィールドは指定されたビット数内でこのような標準的な表現を提供することができません。32ビットの素数フィールドは32ビットに含まれることができますが、すべての32ビットの文字列が唯一のフィールド要素に対応できるわけではなく、バイナリーフィールドはこの一対一のマッピングの利便性を持っています。素数フィールドFpにおいて、一般的な還元方法にはBarrett還元、Montgomery還元、またはMersenne-31やGoldilocks-64などの特定の有限体に対する特殊な還元方法が含まれます。バイナリーフィールドF2kにおいて、一般的に使用される還元方法には、AESで使用される特殊還元(、POLYVALで使用されるMontgomery還元)、そしてTower(のような再帰的還元)が含まれます。論文《Exploring the Design Space of Prime Field vs. Binary Field ECC-Hardware Implementations》では、バイナリーフィールドは加算と乗算の演算において繰り上がりを導入する必要がなく、またバイナリーフィールドの平方演算は非常に効率的であることが指摘されています。なぜなら、それは(X + Y )2 = X2 + Y 2 の簡略化されたルールに従うからです。

図1に示すように、128ビットの文字列：この文字列は、バイナリフィールドのコンテキストでさまざまな方法で解釈できます。それは128ビットのバイナリフィールドの中のユニークな要素として考えられるか、または2つの64ビットタワーフィールド要素、4つの32ビットタワーフィールド要素、16の8ビットタワーフィールド要素、または128のF2フィールド要素として解析されることがあります。この表現の柔軟性は、計算コストを必要とせず、ただのビット文字列の型変換(typecast)であり、非常に興味深く有用な特性です。同時に、小さいフィールド要素は、追加の計算コストなしにより大きなフィールド要素にパッケージ化できます。Biniusプロトコルはこの特性を利用して計算効率を向上させています。さらに、論文『On Efficient Inversion in Tower Fields of Characteristic Two』では、nビットのタワー型バイナリフィールドにおいて(、mビットのサブフィールド)に分解しての乗算、平方、および逆算の計算複雑性について探討しています。

! Bitlayer研究:Binius STARKsの原理分析と最適化思考

( 2.2 PIOP: バイナリドメイン用の適応 HyperPlonk プロダクトと PermutationCheck ------

BiniusプロトコルのPIOP設計はHyperPlonkを参考にしており、多項式および多変数集合の正確性を検証するための一連のコアチェックメカニズムを採用しています。これらのコアチェックには、

1. GateCheck: 秘密証明ωと公開入力xが回路計算関係C)x,ω###=0を満たすかどうかを検証し、回路が正しく動作することを確認します。

2. PermutationCheck: 2つの多変数多項式fとgがブール超立方体上での評価結果が置換関係であるかどうかを検証します。f(x) = f(π)x((, これにより多項式の変数間の順序の一貫性を確保します。

3. LookupCheck: 多項式の評価が指定されたルックアップテーブルに存在するかを検証します。すなわち、f)Bµ) ⊆ T(Bµ)、特定の値が指定された範囲内にあることを確認します。

4. MultisetCheck: 二つの多変量集合が等しいかどうかをチェックします。すなわち、{(x1,i,x2,)}i∈H={(y1,i,y2,)}i∈H であり、複数の集合間の一貫性を保証します。

5. ProductCheck: 有理多項式がブール超立方体上での評価がある声明された値∏x∈Hµ f(x) = sに等しいかどうかを検出し、多項式の積の正確性を確保します。

6. ZeroCheck: 多変数多項式がブール超立方体の任意の点でゼロであるかどうかを検証する∏x∈Hµ f(x) = 0, ∀x ∈ Bµ, 多項式のゼロ点分布を確認するため。

7. SumCheck: 多変数多項式の合計が宣言された値∑x∈Hµ f(x) = sであるかどうかを検出します。多変数多項式の評価問題を単変数多項式の評価に変換することで、検証者の計算の複雑さを軽減します。さらに、SumCheckはバッチ処理も可能で、ランダム数を導入することで、複数の合計チェックインスタンスに対するバッチ処理を実現します。

8. BatchCheck:SumCheckに基づいて、複数の多変量多項式評価の正確性を検証し、プロトコールの効率を向上させます。

BiniusはHyperPlonkとプロトコル設計において多くの類似点がありますが、以下の3つの点で改善を行いました:

• ProductCheckの最適化: HyperPlonkでは、ProductCheckは分母Uが超立方体上で常にゼロでないことを要求し、積が特定の値に等しい必要があります; Biniusはこの値を1に特化することで、このチェックプロセスを簡素化し、計算の複雑さを低減します。

• ゼロ除算問題の処理: HyperPlonkはゼロ除算の状況を十分に処理できず、超立方体上のUの非ゼロ問題を断言できませんでした; Biniusはこの問題を正しく処理し、分母がゼロの場合でも、BiniusのProductCheckは処理を続けることができ、任意の積値に拡張を許可します。

• 列間PermutationCheck:HyperPlonkにはこの機能がありません;Biniusは複数の列間でPermutationCheckをサポートしており、これによりBiniusはより複雑な多項式の配置状況を処理できるようになります。

したがって、Biniusは既存のPIOPSumCheckメカニズムの改善を通じて、特により複雑な多変数多項式検証を処理する際に、プロトコルの柔軟性と効率を向上させ、より強力な機能サポートを提供しました。これらの改善は、HyperPlonkの限界を解決するだけでなく、将来の二進数フィールドに基づく証明システムの基盤を築くものです。

( 2.3 PIOP:新しいマルチリニアシフト引数------ブールハイパーキューブに適用される

Biniusプロトコルでは、仮想多項式の構築と処理が重要な技術の一つであり、入力ハンドルや他の仮想多項式から派生した多項式を効果的に生成および操作することができます。以下は二つの重要な方法です:

• Packing:この方法は、辞書順で隣接する位置にある小さい要素をより大きな要素にパッキングすることで操作を最適化します。Packオペレーターはサイズが2κのブロック操作に対応し、それらを高次元領域に組み合わせます。