Analyse des principes des STARKs de Binius et réflexions sur leur optimisation

1 Introduction

Une des principales raisons de l'inefficacité des STARKs est que la plupart des valeurs dans les programmes réels sont relativement petites, comme les index dans les boucles for, les valeurs booléennes, les compteurs, etc. Cependant, pour garantir la sécurité des preuves basées sur les arbres de Merkle, l'utilisation du codage de Reed-Solomon pour étendre les données entraîne de nombreuses valeurs de redondance supplémentaires qui occupent tout le domaine, même si la valeur originale elle-même est très petite. Pour résoudre ce problème, la réduction de la taille du domaine est devenue une stratégie clé.

La largeur de code des STARKs de première génération est de 252 bits, celle des STARKs de deuxième génération est de 64 bits, et celle des STARKs de troisième génération est de 32 bits, mais la largeur de code de 32 bits présente encore beaucoup d'espace gaspillé. En comparaison, le domaine binaire permet d'opérer directement sur les bits, le codage étant compact et efficace sans espace gaspillé, c'est-à-dire les STARKs de quatrième génération.

Comparé aux découvertes récentes sur les corps finis comme Goldilocks, BabyBear et Mersenne31, la recherche sur les corps binaires remonte aux années 1980. Actuellement, les corps binaires sont largement utilisés en cryptographie, des exemples typiques incluent :

• Norme de cryptage avancé ( AES ), basé sur le domaine F28;

• Galois Code d'authentification de message ( GMAC ), basé sur le domaine F2128;

• QR code, utilisant un codage Reed-Solomon basé sur F28;

• Le protocole FRI original et le protocole zk-STARK, ainsi que la fonction de hachage Grøstl, qui a atteint la finale de SHA-3, basée sur le domaine F28, est un algorithme de hachage très adapté à la récursion.

Lors de l'utilisation de domaines plus petits, l'opération d'extension de domaine devient de plus en plus importante pour garantir la sécurité. Le domaine binaire utilisé par Binius doit entièrement dépendre de l'extension de domaine pour assurer sa sécurité et sa praticité. La plupart des polynômes impliqués dans les calculs de Prover n'ont pas besoin d'entrer dans l'extension de domaine, mais peuvent simplement fonctionner dans le domaine de base, réalisant ainsi une grande efficacité dans un petit domaine. Cependant, les vérifications de points aléatoires et les calculs FRI doivent encore plonger dans un domaine d'extension plus grand pour garantir la sécurité requise.

Lors de la construction d'un système de preuve basé sur le domaine binaire, il existe deux problèmes pratiques : lors du calcul de la trace dans les STARKs, la taille du domaine utilisée doit être supérieure au degré du polynôme ; lors de l'engagement de l'arbre de Merkle dans les STARKs, un encodage de Reed-Solomon doit être effectué, et la taille du domaine utilisée doit être supérieure à la taille après l'extension de l'encodage.

Binius a proposé une solution innovante pour traiter ces deux problèmes, en représentant les mêmes données de deux manières différentes : d'abord, en utilisant des polynômes multivariés (, spécifiquement des polynômes multilinaires ), au lieu de polynômes univariés, pour représenter l'ensemble de la trajectoire de calcul par ses valeurs sur des "hyper cubes" (; ensuite, étant donné que la longueur de chaque dimension de l'hyper cube est de 2, il n'est pas possible d'effectuer une extension Reed-Solomon standard comme avec les STARKs, mais l'hyper cube peut être considéré comme un carré ), sur la base duquel une extension Reed-Solomon peut être effectuée. Cette méthode améliore considérablement l'efficacité du codage et la performance de calcul tout en garantissant la sécurité.

2 Analyse des principes

La construction de la plupart des systèmes SNARKs actuels comprend généralement les deux parties suivantes :

• Preuve d'oracle interactive polynomiale théorique de l'information (Information-Theoretic Polynomial Interactive Oracle Proof, PIOP): Le PIOP, en tant que système de preuve central, transforme les relations de calcul d'entrée en égalités polynomiales vérifiables. Différents protocoles PIOP permettent au prouveur d'envoyer progressivement des polynômes via une interaction avec le vérificateur, de sorte que le vérificateur puisse vérifier si le calcul est correct en interrogeant un nombre limité de résultats d'évaluation de polynômes. Les protocoles PIOP existants incluent: PLONK PIOP, Spartan PIOP et HyperPlonk PIOP, qui traitent chacun les expressions polynomiales de manière différente, influençant ainsi les performances et l'efficacité de l'ensemble du système SNARK.

• Schéma d'engagement polynomial (Polynomial Commitment Scheme, PCS) : Le schéma d'engagement polynomial est utilisé pour prouver si l'égalité polynomiale générée par PIOP est valide. Le PCS est un outil cryptographique, par lequel le prouveur peut s'engager sur un certain polynôme et vérifier ultérieurement le résultat de l'évaluation de ce polynôme, tout en cachant d'autres informations sur le polynôme. Les schémas d'engagement polynomial courants incluent KZG, Bulletproofs, FRI(Fast Reed-Solomon IOPP) et Brakedown, entre autres. Différents PCS ont des performances, des niveaux de sécurité et des scénarios d'application différents.

En fonction des besoins spécifiques, choisissez différents PIOP et PCS, et combinez-les avec des domaines finis ou des courbes elliptiques appropriés, il est possible de construire des systèmes de preuve avec différentes propriétés. Par exemple:

• Halo2 : combiné de PLONK PIOP et Bulletproofs PCS, basé sur la courbe Pasta. Halo2 a été conçu en mettant l'accent sur l'évolutivité et en éliminant le trusted setup du protocole ZCash.

• Plonky2 : adopte PLONK PIOP et FRI PCS, et est basé sur le domaine de Goldilocks. Plonky2 est conçu pour réaliser une récursivité efficace. Lors de la conception de ces systèmes, le PIOP et le PCS choisis doivent correspondre au domaine fini ou à la courbe elliptique utilisée, afin d'assurer la correction, la performance et la sécurité du système. Le choix de ces combinaisons influence non seulement la taille des preuves SNARK et l'efficacité de la vérification, mais détermine également si le système peut réaliser la transparence sans configuration de confiance, et s'il peut prendre en charge des fonctionnalités d'extension telles que la preuve récursive ou la preuve agrégée.

Binius : HyperPlonk PIOP + Brakedown PCS + champs binaires. Plus précisément, Binius comprend cinq technologies clés pour réaliser son efficacité et sa sécurité. Tout d'abord, l'arithmétique basée sur les tours de champs binaires (towers of binary fields) constitue la base de ses calculs, permettant d'effectuer des opérations simplifiées dans le champ binaire. Deuxièmement, Binius a adapté la vérification de produit et de permutation de HyperPlonk dans son protocole de preuve Oracle interactif (PIOP), garantissant une vérification cohérente sécurisée et efficace entre les variables et leurs permutations. Troisièmement, le protocole introduit une nouvelle preuve de décalage multilinéraire, optimisant l'efficacité de la vérification des relations multilinéaires sur de petits champs. Quatrièmement, Binius utilise une version améliorée de la preuve de recherche Lasso, offrant flexibilité et sécurité robuste au mécanisme de recherche. Enfin, le protocole utilise un schéma d'engagement polynômial sur de petits champs (Small-Field PCS), lui permettant de réaliser un système de preuve efficace sur le champ binaire, tout en réduisant les frais généralement associés aux grands champs.

( 2.1 Domain fini : arithmétique basée sur les tours de champs binaires

Les corps binaires en tour sont la clé pour réaliser des calculs rapides et vérifiables, principalement en raison de deux aspects : le calcul efficace et l'arithmétique efficace. Les corps binaires supportent essentiellement des opérations arithmétiques très efficaces, ce qui en fait un choix idéal pour les applications cryptographiques sensibles aux performances. De plus, la structure des corps binaires supporte un processus d'arithmétisation simplifié, c'est-à-dire que les opérations effectuées sur les corps binaires peuvent être représentées sous une forme algébrique compacte et facile à vérifier. Ces caractéristiques, combinées à la capacité de tirer pleinement parti de ses caractéristiques hiérarchiques grâce à la structure en tour, rendent les corps binaires particulièrement adaptés à des systèmes de preuve évolutifs tels que Binius.

Le terme "canonical" fait référence à la représentation unique et directe des éléments dans un domaine binaire. Par exemple, dans le domaine binaire F2 le plus basique, toute chaîne de k bits peut être directement mappée à un élément de domaine binaire de k bits. Cela diffère des domaines premiers, qui ne peuvent pas fournir cette représentation canonique dans un nombre de bits donné. Bien qu'un domaine premier de 32 bits puisse être contenu dans 32 bits, ce n'est pas le cas pour chaque chaîne de 32 bits qui peut correspondre de manière unique à un élément de domaine, alors que le domaine binaire présente cette commodité de correspondance un à un. Dans le domaine premier Fp, les méthodes de réduction courantes incluent la réduction de Barrett, la réduction de Montgomery, ainsi que des méthodes de réduction spécifiques pour des domaines finis comme Mersenne-31 ou Goldilocks-64. Dans le domaine binaire F2k, les méthodes de réduction courantes incluent des réductions spéciales ) comme celles utilisées dans AES ###, la réduction de Montgomery ( comme celles utilisées dans POLYVAL ) et la réduction récursive ( comme Tower ). L'article "Exploring the Design Space of Prime Field vs. Binary Field ECC-Hardware Implementations" indique que le domaine binaire n'a pas besoin d'introduire des retenues dans les opérations d'addition et de multiplication, et que l'opération de carré dans le domaine binaire est très efficace car elle suit la règle simplifiée (X + Y )2 = X2 + Y 2.

Comme indiqué dans la figure 1, une chaîne de 128 bits : cette chaîne peut être interprétée de différentes manières dans le contexte des domaines binaires. Elle peut être considérée comme un élément unique dans un domaine binaire de 128 bits, ou être analysée comme deux éléments de domaine de tour de 64 bits, quatre éléments de domaine de tour de 32 bits, seize éléments de domaine de tour de 8 bits, ou 128 éléments de domaine F2. Cette flexibilité de représentation ne nécessite aucun coût de calcul, juste une conversion de type de chaîne de bits (typecast), qui est une propriété très intéressante et utile. De plus, les petits éléments de domaine peuvent être emballés en éléments de domaine plus grands sans coût de calcul supplémentaire. Le protocole Binius exploite cette caractéristique pour améliorer l'efficacité computationnelle. De plus, le document "On Efficient Inversion in Tower Fields of Characteristic Two" explore la complexité de calcul des opérations de multiplication, de mise au carré et d'inversion dans un domaine binaire de tour de n bits ( décomposable en un sous-domaine de m bits ).

( 2.2 PIOP: Version modifiée du produit HyperPlonk et vérification de permutation------Applicable aux domaines binaires

La conception de PIOP dans le protocole Binius s'inspire de HyperPlonk et utilise une série de mécanismes de vérification essentiels pour valider l'exactitude des polynômes et des ensembles multivariés. Ces vérifications essentielles comprennent :

1. GateCheck: Vérifiez si le témoin secret ω et l'entrée publique x satisfont la relation d'opération du circuit C)x,ω###=0, afin d'assurer le bon fonctionnement du circuit.

2. PermutationCheck : Vérifie si les résultats de l'évaluation de deux polynômes multivariés f et g sur le cube hyperbolique booléen sont une relation de permutation f(x) = f(π)x((, afin de garantir la cohérence des permutations entre les variables du polynôme.

3. LookupCheck : Vérifie si l'évaluation du polynôme est dans la table de recherche donnée, c'est-à-dire f)Bµ) ⊆ T(Bµ), en s'assurant que certaines valeurs sont dans la plage spécifiée.

4. MultisetCheck : vérifier si deux ensembles multivariables sont égaux, c'est-à-dire {(x1,i,x2,)}i∈H={(y1,i,y2,)}i∈H, garantissant la cohérence entre plusieurs ensembles.

5. ProductCheck : vérifier si l'évaluation des polynômes à plusieurs variables sur l'hypercube booléen est égale à une valeur déclarée ∏x∈Hµ f(x) = s, afin d'assurer la validité du produit des polynômes.

6. ZeroCheck : vérifier si un polynôme multivariable est nul en un point quelconque du cube hyperbolique booléen ∏x∈Hµ f(x) = 0, ∀x ∈ Bµ, afin d'assurer la distribution des zéros du polynôme.

7. SumCheck : Vérifie si la somme d'un polynôme multivariable est égale à la valeur déclarée ∑x∈Hµ f(x) = s. En transformant le problème d'évaluation d'un polynôme multivariable en évaluation d'un polynôme à variable unique, cela réduit la complexité de calcul pour la partie vérificatrice. De plus, SumCheck permet également le traitement par lots, en introduisant des nombres aléatoires pour construire des combinaisons linéaires afin de réaliser le traitement par lots de plusieurs instances de vérification de somme.

8. BatchCheck : basé sur SumCheck, vérifie la validité des évaluations de plusieurs polynômes multivariables afin d'améliorer l'efficacité du protocole.

Bien que Binius et HyperPlonk aient de nombreuses similitudes dans la conception des protocoles, Binius apporte des améliorations dans les 3 domaines suivants :

• Optimisation de ProductCheck : dans HyperPlonk, ProductCheck exige que le dénominateur U soit non nul partout sur l'hypercube, et que le produit soit égal à une valeur spécifique ; Binius simplifie ce processus de vérification en spécialisant cette valeur à 1, réduisant ainsi la complexité de calcul.

• Traitement du problème de division par zéro : HyperPlonk n'a pas réussi à traiter correctement les cas de division par zéro, ce qui empêche d'affirmer que U est non nul sur l'hypercube ; Binius a correctement traité ce problème, même lorsque le dénominateur est zéro, le ProductCheck de Binius peut continuer à traiter, permettant une généralisation à n'importe quelle valeur de produit.

• Vérification de permutation inter-colonnes : HyperPlonk ne dispose pas de cette fonctionnalité ; Binius prend en charge la vérification de permutation entre plusieurs colonnes, ce qui permet à Binius de gérer des cas de permutation polynomiale plus complexes.

Ainsi, Binius a amélioré le mécanisme PIOPSumCheck existant, augmentant la flexibilité et l'efficacité du protocole, en particulier lors du traitement de vérifications de polynômes multivariables plus complexes, offrant un support fonctionnel plus fort. Ces améliorations non seulement résolvent les limitations de HyperPlonk, mais jettent également les bases pour les systèmes de preuve basés sur des corps binaires à l'avenir.

( 2.3 PIOP: nouvel argument de décalage multilinéaire ------ applicable au cube hyperbolique booléen

Dans le protocole Binius, la construction et le traitement des polynômes virtuels sont l'une des technologies clés, capables de générer et de manipuler efficacement les polynômes dérivés de poignées d'entrée ou d'autres polynômes virtuels. Voici deux méthodes clés :

• Packing : Cette méthode optimise les opérations en regroupant les éléments plus petits adjacents dans l'ordre lexicographique en éléments plus grands. L'opérateur Pack cible des blocs de taille 2κ et les combine en un domaine de haute dimension.